聊聊动态规划与记忆化搜索
(https://www.luogu.com.cn/blog/interestingLSY/memdfs-and-dp)
(https://www.luogu.com.cn/blog/kaiyuandeboke/dong-tai-gui-hua-yu-ji-yi-hua-sou-suo)
by $\color{Gray}{InterestingLSY}$ (菜到发灰) ，在此一并感谢 $\color{purple}{ComeIntoPower}$dalao的指点qwq
想体验把暴搜改改就是正解的快感吗? 想体验状压dp看似状态多到爆炸实际一跑却嗷嗷快(实际有效的状态数很少)的荣耀吗? 记忆化搜索,符合您的需求!只要998,记忆化搜索带回家!记忆化搜索,记忆化搜索,再说一遍,记忆化搜索!
先点个赞吧(逃
_由于我讲的比较磨叽,兜售目录一份,dalao们可以选择自己喜欢的部分看_
目录：
记忆化搜索是啥
记忆化搜索和动态规划有啥关系
如何写记忆化搜索
记忆化搜索的优缺点
记忆化搜索的注意事项
相关文章推荐
1. 记忆化搜索是啥（引入
好，就以 这道题 为例，我不会动态规划，只会搜索，我就会直接写一个粗暴的 DFS :
_注: 为了方便食用, 本文中所有代码省略头文件_
int n,t;
int tcost[103],mget[103];
int ans = 0;
void dfs( int pos , int tleft , int tans ){
if( tleft < 0 ) return;
if( pos == n+1 ){
ans = max(ans,tans);
return;
}
dfs(pos+1,tleft,tans);
dfs(pos+1,tleft-tcost[pos],tans+mget[pos]);
}
int main(){
cin >> t >> n;
for(int i = 1;i <= n;i++)
cin >> tcost[i] >> mget[i];
dfs(1,t,0);
cout << ans << endl;
return 0;
}`</pre>
这就是个十分智障的大暴搜是吧......
emmmmmm....... $\color{Red}{30}$ 分
然后我心血来潮, 想不借助任何 "外部变量"(就是 dfs 函数外且 ** 值随 dfs 运行而改变的变量 **), 比如 ans
把 ans 删了之后就有一个问题: 我们拿什么来记录答案?
答案很简单:
** 返回值!**
此时 $dfs(pos,tleft)$ 返回在时间 $tleft$ 内采集 ** 后 **$pos$ 个草药, 能获得的最大收益
不理解就看看代码吧:
<pre>`int n,time;
int tcost[103],mget[103];
int dfs(int pos,int tleft){
if(pos == n+1)
return 0;
int dfs1,dfs2 = -INF;
dfs1 = dfs(pos+1,tleft);
if( tleft >= tcost[pos] )
dfs2 = dfs(pos+1,tleft-tcost[pos]) + mget[pos];
return max(dfs1,dfs2);
}
int main(){
cin >> time >> n;
for(int i = 1;i <= n;i++)
cin >> tcost[i] >> mget[i];
cout << dfs(1,time) << endl;
return 0;
}`</pre>
<del>emmmmmm....... 还是 $\color{Red}{30}$ 分</del>
但这个时候, 我们的程序已经不依赖任何外部变量了.
然后我非常无聊, 将所有 dfs 的返回值都记录下来, 竟然发现......
** 震惊, 对于相同的 pos 和 tleft,dfs 的返回值总是相同的!**
想一想也不奇怪, 因为我们的 dfs 没有依赖任何外部变量.
旁白: 像 $tcost[103]$,$mget[103]$ 这种东西不算是外部变量, 因为她们在 dfs 过程中不变.
然后?
开个数组 $mem$ , 记录下来每个 $dfs(pos,tleft)$ 的返回值. 刚开始把 $mem$ 中每个值都设成 $-1$ (代表没访问过). 每次刚刚进入一个 dfs 前(我们的 dfs 是递归调用的嘛), 都检测 $mem[pos][tleft]$ 是否为 $-1$ , 如果是就正常执行并把答案记录到 $mem$ 中, 否则?
** 直接返回 $mem$ 中的值!**
<pre>`int n,t;
int tcost[103],mget[103];
int mem[103][1003];
int dfs(int pos,int tleft){
if( mem[pos][tleft] != -1 ) return mem[pos][tleft];
if(pos == n+1)
return mem[pos][tleft] = 0;
int dfs1,dfs2 = -INF;
dfs1 = dfs(pos+1,tleft);
if( tleft >= tcost[pos] )
dfs2 = dfs(pos+1,tleft-tcost[pos]) + mget[pos];
return mem[pos][tleft] = max(dfs1,dfs2);
}
int main(){
memset(mem,-1,sizeof(mem));
cin >> t >> n;
for(int i = 1;i <= n;i++)
cin >> tcost[i] >> mget[i];
cout << dfs(1,t) << endl;
return 0;
}`</pre>
此时 $mem$ 的意义与 dfs 相同:
> 在时间 $tleft$ 内采集 **后** $pos$ 个草药, 能获得的最大收益
这能 ac?
能.** 这就是 "采药" 那题的 AC 代码 **
好我们 yy 出了记忆化搜索
#### 总结一下记忆化搜索是啥:- 不依赖任何 外部变量
- 答案以返回值的形式存在, 而不能以参数的形式存在(就是不能将 dfs 定义成 $dfs(pos ,tleft , nowans )$, 这里面的 nowans 不符合要求).
- 对于相同一组参数, dfs 返回值总是相同的
* * *
## 2. 记忆化搜索与动态规划的关系:（分析
<del>基本是朋 (ji) 友关系</del>
有人会问: 记忆化搜索难道不是搜索?
一定程度上来说，她是搜索.但个人认为她更像dp
**其实说白了，记忆化搜索就是dp**
不信你看$mem$ 的意义:
> 在时间 $tleft$ 内采集 **后** $pos$ 个草药, 能获得的最大收益
这不就是dp的状态?
由上面的代码中可以看出:
> $dfs(pos,left) = max(dfs(pos+1,tleft-tcost[pos])+mget[pos]\ ,\ dfs(pos+1,tleft)$
即为
> $mem[pos][tleft] = max(mem[pos+1][tleft-tcost[pos]]+mget[pos]\ ,\ mem[pos+1][tleft])$
这不就是dp的状态转移?
总结一下：
> 记忆化搜索和动态规划**从根本上来讲就是一个东西**,**(印象中)任何一个 dp 方程都能转为记忆化搜索 ，反之亦然（为什么？见下文“体现在”的第四条）
体现在- 根据记忆化搜索的参数可以直接得到dp的状态，反之亦然
- 根据记忆化搜索的递归关系可以写出状态转移方程，这个方程可以直接写出循环式的dp，只不过是反的(想想为什么？)，反之亦然
- 大部分记忆化搜索时空复杂度与 不加优化的 dp 完全相同
最重要的一点：二者思想类似！！ 核心思想均为：利用对于相同参数答案相同的特性，对于相同的参数（循环式的dp体现为数组下标），记录其答案，免去重复计算，从而起到优化时间复杂度的作用。这，便是二者的精髓。**
建议好好想想第四条。记住，学一个算法，一定要理解他的精髓。
举个栗子:
$dp[i][j][k] = dp[i+1][j+1][k-a[j]] + dp[i+1][j][k]$
转为
`int dfs( int i , int j , int k ){ 边界条件 if( mem[i][j][k] != -1 ) return mem[i][j][k]; return mem[i][j][k] = dfs(i+1,j+1,k-a[j]) + dfs(i+1,j,k); } int main(){ memset(mem,-1,sizeof(mem)); 读入 cout << dfs(1,0,0) << endl; }`二者满足上面提到的所有关系
* * *
## 3. 如何写记忆化搜索
### 方法I（由动态规划开始思考）:- 把这道题的dp状态和方程写出来
- 根据他们写出dfs函数
添加记忆化数组
举例:
$dp[i] = max\{dp[j]+1\}\quad 1 \leq j < i \text{且}a[j]<a[i]$ (最长上升子序列)
转为
`int dfs( int i ){if( mem[i] != -1 ) return mem[i]; int ret = 1; for( int j = 1 ; j < i ; j++ ) if( a[j] < a[i] ) ret = max(ret,dfs(j)+1); return mem[i] = ret;} int main(){
memset(mem,-1,sizeof(mem)); 读入 cout << dfs(n) << endl;}
方法II（由暴搜开始思考）:
- 写出这道题的暴搜程序(最好是dfs)
- 将这个dfs改成"无需外部变量"的dfs
- 添加记忆化数组
举例: 本文最开始介绍"什么是记忆化搜索"时举的"采药"那题的例子，就是典型的方法II
4. 记忆化搜索的优缺点
优点:
记忆化搜索可以避免搜到无用状态, 特别是在有状态压缩时
举例: 给你一个有向图(注意不是完全图),经过每条边都有花费,求从点1出发,经过每个点恰好一次后的最小花费(最后不用回到起点),保证路径存在.
dp状态很显然:
设 $dp[pos][mask]$ 表示身处在 $pos$ 处,走过 $mask$(mask为一个二进制数) 中的顶点后的最小花费
常规 $dp$ 的状态为 $O(n\cdot 2^n)$ , 转移复杂度(所有的加在一起)为 $O(m)$
但是!如果我们用记忆化搜索,就可以避免到很多无用的状态,比如 $pos$ 为起点却已经经过了 $>1$ 个点的情况.
然后就 $rk1$ 了
- 不需要注意转移顺序(这里的"转移顺序"指正常dp中for循环的嵌套顺序以及循环变量是递增还是递减)
举例: 用常规 dp 写"合并石子"需要先枚举区间长度然后枚举起点,但记忆化搜索直接枚举断点(就是枚举当前区间由哪两个区间合并而成)然后递归下去就行
边界情况非常好处理, 且能有效防止数组访问越界
写起来简单易懂至少我镇么认为 qwq有些 dp(如区间 dp)用记忆化搜索写很简单但正常 dp 很难
记忆化搜索天生携带搜索天赋,可以使用技能"剪枝"!
缺点:
致命伤: 不能滚动数组!(哪位 dalao 会记搜 + 滚动的请在评论区留名)
有些优化比较难加
由于递归, 有时效率较低但不至于 TLE (状压dp除外)
代码有点长
其实也不算太长
5. 记忆化搜索的注意事项
千万别忘了加记忆化! (别笑, 认真的
边界条件要加在检查当前数组值是否为 - 1 前(防止越界)
数组不要开小了(逃
在某些时候需要优化（如滚动数组、斜率优化时还是要用正常的dp
6. 相关文章推荐
《挑战程序设计竞赛》(又名白书)，对动态规划的引入的那一章（它也是从暴搜开始讲起）